Как построить график y k x. Линейная функция

1. Если переменная у пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой где - коэффициент пропорциональности. График этой функции мы рассмотрели в § 2.

2. Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой где коэффициент обратной пропорциональности.

3. Область определения функции есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е.

4. Графиком обратной пропорциональности является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой (рис. 35). Если то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же , то во II и IV координатных четвертях.

5. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается (объясните почему).

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Построить график функции:

Решение. 1) Для построения графика данной функции, часто встречающейся на практике, установим сначала некоторые ее свойства.

а) Функция определена при всех действительных При функция не определена (делить на нуль нельзя!). Таким образом, область определения функции состоит из двух промежутков:

б) Функция нечетная, так как Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть данную функцию только для

в) При функция убывает. Действительно, пусть тогда

График функции построен на рисунке 35. Эта кривая называется гиперболой. Она состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях.

Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.

Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.

Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k<0.

Основные свойства функции y = k/x, при k>0

График функции y = k/x, при k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Основные свойства функции y = k/x, при k<0

График функции y = k/x, при k<0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат - асимптоты гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

Урок алгебры. 8 класс.

Тема урока: « Функция у=к/х, ее свойства и график».

Цели урока:

Образовательная цель: научить строить график функции у=к/х, исследовать свойства функции, сформировать четкое представление о различиях свойств и расположения графика функции при к 0 и к 0, расширить представление учащихся о функции.

Развивающая цель: продолжить развитие познавательного интереса к изучению алгебры, развивать умение анализировать, наблюдать, сопоставлять, логически мыслить, развитие навыков взаимоконтроля и самоконтроля.

Воспитывающая цель: воспитание навыков коммуникотивности в работе, умение слушать и слышать другого, уважение к мнению товарища, воспитание у учащихся таких нравственных качеств, как настойчивость, аккуратность, инициативность, точность, привычка к системному труду, самостоятельность, активность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный аппарат, раздаточный материал, презентация урока.

Структура урока:

Постановка цели урока. (2 мин)
Актуализация опорных знаний и умений учащихся. (8 мин)
Подготовка к активному изучению нового материала. (9 мин)
Усвоение новых знаний. (16 мин)
Закрепление полученных знаний. (5мин)
Рефлексия. (3 мин)
Постановка домашнего задания. (2 мин)
Резервные задания.

Ход урока.

Организационный момент . (слайд1) Формулируется тема урока и цель урока. Сегодня мы продолжаем знакомится с функциями и рассмотрим функцию у=к/х ее свойства и график, что показывает нам эта функция и какую роль играет в жизни любого человека.

Актуализация опорных знаний и умений учащихся.

К доске выходят два учащихся и заполняют таблицы, которые приготовлены на доске.


1/х


1/х

2. В это время идет фронтальная работа с остальным классом.

Дайте определение: что такое область определения функции. (областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент)

Укажите область определение следующих функций (на экране слайд 2):

У=х²+8, у=1/х-7, у=4х-1/5, у=2/х

На каком рисунке из таблицы (слайд 3) изображен график:

1) график линейной функции, написать формулу,

2) прямой пропорциональности, привести из жизни примеры прямой пропорциональности,

3) квадратичной функции,

4) какой знак имеет коэффициент к квадратичной функции, которым соответствуют графике на рисунке 9 и10.

Потом все вместе проверяем правильность заполнения таблиц. Особое внимание уделяем тому месту, где х=0.

Подготовка к активному изучению нового материала.

Нам известно, что каждая из данных функций описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире. Давайте обратимся к физике и на её примере рассмотрим одно из физических явлений, с которым многие сталкивались в жизни. Ребята смотрят слайд 4, на котором изображена физическая модель и физическое явление. Какое физическое явление происходит (давление твердого тела на поверхность, чем больше площадь, тем меньше давление). Напишите формулу и объясните этот слайд с помощью формулы.

Как вы думаете, как можно назвать такую зависимость переменных? (обратная пропорциональность). (слайд5)

В математике такая зависимость записывается формулой у=к/х, а графиком такой функции является гипербола. Как она выглядит, мы узнаем позже. Я знаю, что вы встречали понятие гиперболы в литературе. И об этом нам расскажет Катя Веденеева. (учащаяся читает доклад)

Усвоение новых знаний.

Вот и подошел момент, когда мы должны узнать, как строить график функции у=к/х и исследовать ее свойства. Теперь вы поработаете в парах. Перед вами лежат листки с координатной плоскостью и написано, какую функцию надо построить. (приложение 1).Что необходимо для построения графика функции? (заполнить таблицу) . Скажите, а может она у нас уже заполнена? (да, на доске). Ребята строят точки на готовой координатной плоскости, а потом проверяют вместе с учителем. (слайд 6,7).

А как соединить правильно? Смотрите, пожалуйста, как это будет происходить на экране. Линии, которые образуются при соединении точек, не должны слиться с координатными осями, поэтому после крайних точек лучше продлить их еще на миллиметра 2. Линии, которые мы получили, называются ветвями гиперболы. Соедините ваши точки.(слайд 8,9)

Ответе на вопрос: как зависит расположение графика функции у=к/х от знака коэффициента к? Учащиеся убеждаются, что если к>0, то график располагается в 1 и 3 координатных четвертях, а если к

После координатной плоскости у вас написаны свойства, которые надо дописать. Две головы хорошо, а четыре лучше. Поэтому объединяемся в группы по четыре человека. Вы исследуете график функции в своей группе и прямо на этом листочке дописываете свойства. Дальше идет коллективное обсуждение, после чего каждое свойство выводится на экран. Только одно свойство учитель показывает сам и объясняет, что непрерывность функции мы понимаем как сплошная линия, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Поэтому 5 свойство учитель объясняет сама. Функция непрерывна на промежутке от (-∞;0) и (0;+∞) претерпевает разрыв в точке х=0.

Вы хорошо поработали и для дальнейших уроков я раздаю вам опорный конспект этой темы, которые вы вклеите. (слайд 10).(приложение2)

Устали давайте немного отдохнем. Предлагаю посмотреть интересные слайды, на которых вы увидите как пословицы можно изобразить с помощью нашей функции у=к/х. (слайд 11,12,13,14).

Закрепление полученных знаний.

Отдохнули, давайте вернемся к своим опорным конспектам. Я была не внимательна и допустила ошибку при их наборе. Посмотрите, пожалуйста, и найдите ошибку в них. Исправьте эту ошибку. (слайд15)

Рефлексия:

Что нового узнали на уроке?

Что использовали для открытия новых знаний?

Какие трудности встретили?

Домашнее задание (слайд 17)

- §18 стр. 96-100, № 18.3, 18.4,

Придумать примеры из различных сфер деятельности человека, которые описываются с помощью обратной пропорциональной зависимости между величинами, и выразить эту зависимость в виде функции у=к/х, сделать эскиз.

Резерв:

Работа в группах.

Задача:

Цену на товар понижают – количество покупаемого товара увеличивается. И наоборот. Придумайте задачу. Напишите формулу и сделайте эскиз.

Подписи к слайдам:

Функция у=к/х, ее свойства и график.
Укажите область определение следующих функций
хЄ(-∞;∞)
хЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
хЄ(-∞;∞)
хЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
1. На каком рисунке из таблице график линейной функции? Написать формулу?
2.На каком рисунке из таблице изображен график прямой пропорциональности?
3. Приведите примеры прямой пропорциональности из жизни?
4. На каком рисунке из таблице изображен график квадратичной функции?
5. Какой знак имеет коэффициент к квадратичной функции, которым соответствуют графики на рисунке 9 и10?
1,2,3,4,5,6,7
1,2,3,
y=kx+b
9,10
Функции в мире физики
Физическая модель
Примеры физических явлений
Обратная пропорциональность
Математическая модель обратной пропорциональности:у=к/х, где к коэффициент пропорциональности
График данной функции называется гиперболой
у
х
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Функция у=1/х
у
х
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Функция у=-1/х
у
х
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Функция у=1/х
у
х
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Функция у=-1/х
y = k / x, k>0
2. y >0 при х>

наибольшее
наименьшее
Область определения функции х(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при х 0
5. Функция имеет точку разрыва х = 0
6. Область значения функции y (-∞;0) (0;+∞)
4. у - не существует у - не существует
наибольшее
наименьшее
y = k / x, k « Щеголять смолоду, а под старость умирать с голоду»
Богатство, одежда, еда
возраст
«Дожили до того, что не осталось ничего»
время
богатство
« Богатому сладко естся да плохо спится»
сон
богатая жизнь
« Поменьше говори, побольше услышишь»
У Количество услышанного
Х Количество разговора
y = k / x, k>0
Область определения функции х(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при х>0; y 3. Убывающая функция на промежутке (-∞;0) и (0;+∞)
5. Функция имеет точку разрыва х = 0
6. Область значения функции y (-∞;0) (0;+∞)
4. у - не существует у - не существует
наибольшее
наименьшее
Область определения функции х(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при х 0
3. Возрастающая функция на промежутке (-∞;0) и (0;+∞)
5. Функция имеет точку разрыва х = 0
6. Область значения функции y (-∞;0) (0;+∞)
4. у - не существует у - не существует
наибольшее
наименьшее
y = k / x, k Домашнее задание: §18 стр. 96-100, № 18.3, 18.4, придумать примеры из различных сфер деятельности человека, которые описываются с помощью обратной пропорциональной зависимости между величинами и выразить эту зависимость в виде функции у=к/х, сделать эскиз.
Спасибо за урок

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Образовательные

: сформулировать определение обратной пропорциональности, ее области определения; научить строить график функции y= k/x опираясь на свойства функции; сформировать чёткое представление о различиях свойств и расположения графика функции при различных значениях k; научить находить значение функции и аргумента по формуле У= k/x.

Развивающие : совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух; стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой проблемного задания, оценкой и поощрением; способствовать развитию находчивости, сообразительности.

Воспитательные
: воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний; воспитывать интерес к предмету.

Оборудование:

проектор, компьютер; раздаточный материал для устного счета.
Презентация к уроку.

ХОД УРОКА

План урока.

Вступительное слово учителя.
Повторение ранее изученного материала.
Изучение нового материала.
Историческая справка.
Исследование функции. Свойства графиков (работа в парах).
Обсуждение графиков (фронтальная работа).
Самостоятельная работа на построение графиков функции.
Закрепление изученного материала.

I. Актуализация опорных знаний.

Приветствие учителя.

(На столах учеников лежат картинки. Учитель просит показать своё настроение в начале урока)

Учитель: На уроках мы с Вами говорили о том, что весь реальный мир состоит из множества тел. Эти тела в любой момент времени взаимодействуют друг с другом на различных уровнях: химическом, физическом, информационном и т.д. (демонстрируется слайд5) Например, на уроках физики Вы изучаете “зависимость силы тока от сопротивления”, “зависимость давления газа от объема”; из жизни мы знаем о “ зависимости радиуса колеса и число совершаемых им оборотов на определенном отрезке пути” и с этой зависимостью мы встречаемся на уроках математики и т.д. Умение анализировать эти взаимодействия или зависимости сделает Вас успешными в своей деятельности!

Вы знаете, что эти величины пропорциональны

Пропорциональность - такая зависимость между величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой изменение во столько же раз другой величины.

Зависимость одной переменной от другой называется функцией. До сих пор Вы изучили функции y = kx + b; y = , y = x 2 . Сегодня мы продолжим изучение функций. Запишите тему урока (демонстрируется слайд 2).

2. Повторение изученного материала.

1. Как называются функции, задаваемые формулами:

а) у=2х+3; б) у = -1/2х+4; в) у=2х; г) у =-3х; д) у = х?

2. Что представляет собой их график? Как он расположен? Укажите область определения и область значения каждой из этих функций.

3. На рисунке изображен график функции у = f(x) на отрезке [- 3; 2].

Укажите наибольшее значение функции.
Укажите промежуток, в котором функция возрастает.
Найдите промежуток, в котором функция принимает отрицательные значения.

3. Изучение нового материала.

Учитель: Итак, сегодня мы изучаем функцию у =k/x .

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задавать формулой вида у=k/x.

где у – зависимая переменная,

х – независимая переменная,

k – не равное нулю число.

Областью определения функции является множество всех чисел, отличных от нуля.

Областью значений функции является множество всех чисел, отличных от нуля.

Вопрос: Как вы считаете, глядя на аналитическую запись функции, можно сказать о том, какие значения х допустимы? (Да, х0 )

Так как выражение у =k/x имеет смысл при всех х не равных 0.

Решение задач на обратную зависимость.

Как связаны между собой х и у?
Как записать каждую зависимость в виде функции?
Что общего и в чем различие этих формул?
Составить функцию, которая является обобщением рассмотренных зависимостей. (Учащиеся с помощью учителя составляют формулу)

Учитель: В явлениях природы, в человеческой деятельности часто встречаются обратно пропорциональные зависимости между двумя величинами.

Как графиком можно представить эту зависимость?

График обратно пропорциональной функции называется гипербола .

4. Историческая справка (демонстрируется слайд 10).

5. Исследование функции на примере зависимости у=12/х.

(Cоставление памятки построения графика функции)

Построение графика функции (все учащиеся строят в своих тетрадях, один на доске).

определите область определения функции;
определите область значения функции;
определите промежутки убывания (возрастания) функции;
определите наибольшее (наименьшее) значение функции;
определите точку разрыва функции

Схема исследования функций.

1) Область определения функции (множество значений переменной х, при которой функция существует) или (проекция функции на ось ОХ).

2) Значения переменной х , при которой у > 0; у < 0.

3) Промежутки возрастания и убывания функции.

4) у наименьшее (при каких х функция принимает наименьшее значение).

у наибольшее (при каких х функция принимает наибольшее значение).

5) Прерывная или непрерывная функция.

6) Область значения функции (множество значений у, при которых функция существует) или (проекция функции на ось ОУ).

Учитель: Проведем анализ графика (демонстрируется слайд 14).

Графиком функции является гипербола.

Гипербола состоит из двух веток.

Вопрос: Скажите, вы встречали где-нибудь это слово раньше? (Да, в русском языке: гипербола – слово или выражение, заключающее в себе преувеличение для создания художественного образа, например “…я сказал тебе сто раз…” (демонстрируются слайды 18,19, 20).

Посмотрите на график и скажите, пересекает ли он прямую ОХ? (Нет) ОУ? (Нет) . Эти прямые называются асимптоты графика.

Посмотрите на график и скажите, имеет ли гипербола центр симметрии? (Точка (0;0)) Ось симметрии? (Прямые у = х; у = - х)

Учитель: Исследовательская работа в парах.

Задание. Построить график функции и описать свойства.

(Учащиеся выполняют задания в парах, после выполнения самопроверка (слайд 13)).

Учитель: Что произошло с графиком функции, при изменении коэффициента?

Учитель: Вернёмся к графикам, которые вы получили.

На какие две группы можно разделить эти графики, чем отличаются эти группы? (Эти группы располагаются в разных четвертях)

От чего зависит расположение графиков? (Расположение графика зависит от знака коэффициента обратной пропорциональности)

Первичное закрепление: самостоятельная работа обучающего характера(демонстрируется слайд 15).

Проверка по окончанию урока.

Итог урока.

Что является графиком функции у = к/х?

В каких координатных четвертях расположен график функции?

Какова область определения функции?
Какими свойствами обладает график функции обратной пропорциональной зависимости?
Как называется график обратно пропорциональной функции?
Из чего состоит гипербола?

(Устно). Слайд 18.

Перечислите свойства функции.

Задание на дом.